Kombination mit Wiederholung-Rechner

Typ:

Elemente gesamt (n)

Ausgewählte Elemente (r)

Gesamtzahl der Elemente (Einzelpersonen) [4] 𝒊

Ausgewählte Elemente (alle auf derselben Bühne) [3] 𝒊

AAA

Kombinationswähler 𝒊


A	➔	AA	➔	AAA[#1] AAB[#2] AAC[#3] AAD[#4]

Kombination mit Wiederholung

Kombination ist ein mathematisches Konzept, das sich auf die Auswahl von Elementen aus einer Sammlung bezieht, wobei die Reihenfolge der Elemente keinen Einfluss auf das Ergebnis hat. Bei Kombination mit Wiederholung können Elemente mehr als einmal ausgewählt werden, was eine wiederholte Auswahl desselben Elements ermöglicht. Die Wiederholung kann je nach Kontext eine endliche oder sogar unendliche Anzahl von Malen erfolgen. Diese Art der Kombination ist in Szenarien nützlich, in denen Duplikate in der Auswahl zulässig sind.

Kombination mit Wiederholung-Formel

In Fällen, in denen wir Elemente aus einer Gruppe auswählen möchten, in der Wiederholungen zulässig sind, können wir die Anzahl der möglichen Kombinationen mithilfe der Kombination mit Wiederholung-Formel:

C = \frac{(n + r - 1)!}{r! \cdot (n - 1)!}

C = Kombination | n = Gesamtzahl der Elemente | r = Anzahl der auszuwählenden Elemente

Kombination mit Wiederholung-Beispiele

Sehen Sie sich die folgenden Kombination mit Wiederholung-Beispiele an, um zu erfahren, wie Sie in unterschiedlichen Kontexten unterschiedliche Möglichkeiten zum Auswählen von Elementen finden.
Beispiel 1: Kombinationen mit Wiederholung von Süßigkeiten

Problem: Auf wie viele Arten können 3 Süßigkeiten aus 5 verschiedenen Sorten ausgewählt werden, wenn Wiederholungen erlaubt sind?
Lösung: Verwendung einer Kombination mit Wiederholung Formel: 7! / [3! × (7-3)!] = 7! / 3! × 4! = 35.
Antwort: Es gibt 35 Möglichkeiten, die Süßigkeiten auszuwählen.

Beispiel 2: Kombinationen mit Wiederholung von Eiscremesorten

Problem: Auf wie viele Arten können 4 Kugeln Eis aus 3 verschiedenen Sorten ausgewählt werden, wenn Wiederholungen erlaubt sind?
Lösung: Verwendung einer Kombination mit Wiederholung Formel: 6! / [4! × (6 - 4)!] = 6! / 4! × 2! = 15.
Antwort: Es gibt 15 Möglichkeiten, die Eiskugeln auszuwählen.

Beispiel 3: Kombinationen mit Wiederholung von Münzen

Problem: Auf wie viele Arten können 6 identische Münzen auf 4 verschiedene Gläser verteilt werden?
Lösung: Verwendung einer Kombination mit Wiederholung Formel: 9! / [6! × (9-6)!] = 9! / (6! × 3!) = 84.
Antwort: Es gibt 84 Möglichkeiten, die Münzen zu verteilen.

Kombination mit Wiederholung-Übung

Nehmen Sie an dieser Kombination mit Wiederholung-Übung teil, um das Konzept von Kombinationen anhand praktischer Fragen zu erkunden. Testen Sie Ihre Fähigkeiten bei der Entscheidung, wie Elemente auszuwählen sind.
Frage 1: Auf wie viele Arten können 3 Bonbons aus 5 verschiedenen Sorten ausgewählt werden, wenn Wiederholungen erlaubt sind?
Antwort 1: 35.
Frage 2: Auf wie viele Arten können 4 Früchte aus 6 verschiedenen Sorten ausgewählt werden, wenn Wiederholungen erlaubt sind?
Antwort 2: 126.
Frage 3: Auf wie viele Arten können 5 Schüler aus 8 verschiedenen Klassen ausgewählt werden, wenn ein Schüler mehr als einmal ausgewählt werden kann?
Antwort 3: 792.
Frage 4: Auf wie viele Arten können 2 Murmeln aus 4 verschiedenen Farben ausgewählt werden, wenn jede Farbe mehr als einmal ausgewählt werden kann?
Antwort 4: 10.
Frage 5: Möglichkeiten, 7 identische Münzen unter 3 Kindern zu verteilen?
Antwort 5: 36.

Kombination mit Wiederholung-Rechner Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Kombinationen und Kombinationen mit Wiederholung?

Bei Kombinationen handelt es sich um die Auswahl von Elementen, wobei jedes Element nur einmal ausgewählt werden kann, während bei Kombinationen mit Wiederholung die mehrfache Auswahl von Elementen möglich ist.

Was bedeutet C(n, r), wenn r > n in Kombinationen mit Wiederholung?

C(n, r) in Kombination mit Wiederholung ermöglicht die Auswahl von r Elementen aus n verschiedenen Elementen, selbst wenn r > n, da Elemente mehrfach ausgewählt werden können. Dadurch können insgesamt r Auswahlen erreicht werden, obwohl weniger eindeutige Elemente vorhanden sind.

Gibt es einen Unterschied darin, wie wir Kombinationen mit Wiederholung für große Zahlen lösen?

Die Formel bleibt dieselbe, aber für große Werte von n und r werden häufig Computertools oder Software verwendet, um große Fakultätsberechnungen durchzuführen.

Gesamtzahl der Elemente (Einzelpersonen)

Diese Visualisierung stellt die Sammlung von Elementen dar, die wiederholt werden können.
Auch wenn Elemente wiederholt werden können, wird jedes einzelne Element als eine einzigartige Auswahl behandelt.

Ausgewählte Elemente (alle auf derselben Bühne)

Elemente werden ausgewählt und auf einer einzigen Bühne platziert, sodass sie jede beliebige Position einnehmen können.
Dasselbe Element kann mehrfach ausgewählt werden, da es unendlich wiederholt werden kann.
Die kreisförmige Bewegung der Elemente betont, dass die Elemente neu angeordnet werden können, ohne das Ergebnis zu beeinflussen, und verdeutlicht, dass die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt.

Kombinationswähler

Diese Visualisierung weist eine hierarchische Struktur auf.
Jede Ebene der Hierarchie enthält alle möglichen Kombinationen der ausgewählten Elemente, wobei die Anzahl der Elemente der Ebenennummer entspricht.
Die letzte Ebene zeigt das gewünschte Ergebnis zusammen mit seiner Eintragsnummer an.
Über Dropdown-Menüs können Sie Elemente interaktiv auswählen, sodass Sie ganz einfach verschiedene Kombinationen erkunden können.
Vorherige Ebenen dienen als Navigationstools, die zu diesem Ergebnis führen.
Dieses Design ermöglicht eine einfache schrittweise Erkundung von Kombinationen und ermöglicht ein Zurückverfolgen.