Permutation mit Wiederholung

Permutation ist ein mathematisches Konzept, das sich auf die Anordnung von Elementen aus einer Sammlung bezieht, wobei die Reihenfolge, in der die Elemente ausgewählt werden, das Ergebnis beeinflusst. Bei einer Permutation mit Wiederholung können Elemente mehrfach ausgewählt werden, was eine unendliche Wiederholung jedes Elements in der Sammlung ermöglicht. Dies bedeutet, dass dasselbe Element an mehreren Positionen innerhalb der Anordnung erscheinen kann.
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Permutation mit Wiederholung-Formel

In Fällen, in denen einige Elemente einer Sammlung wiederholt werden können, wird die Anzahl der Anordnungen mithilfe der Permutation mit Wiederholung-Formel:
P = n r
P = Permutation | n = Gesamtzahl der Elemente | r = Anzahl der auszuwählenden Elemente

Permutation mit Wiederholung-Beispiele

Sehen Sie sich die folgenden Permutation mit Wiederholung-Beispiele an, um zu verstehen, wie Vereinbarungen in verschiedenen Szenarien berechnet werden.
Beispiel 1: PIN-Code
  • Problem: Wie viele 4-stellige PIN-Codes können mit den Ziffern 0 bis 9 erstellt werden?
  • Lösung:
    • Für jede der 4 Positionen gibt es 10 Auswahlmöglichkeiten (Ziffern 0 bis 9).
    • Da jede Ziffer wiederholt werden kann, beträgt die Gesamtzahl der PIN-Codes: 𝑛^𝑟 = 10^4 = 10000.
  • Antwort: Es gibt 10.000 verschiedene 4-stellige PIN-Codes.
Beispiel 2: Münze werfen
  • Problem: Eine Münze wird dreimal geworfen. Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es?
  • Lösung:
    • Bei jedem Münzwurf gibt es zwei mögliche Ergebnisse: Kopf oder Zahl.
    • Da die Münze dreimal geworfen wird: 𝑛^𝑟 = 2^3 =8.
  • Antwort: Bei den drei Münzwürfen gibt es acht mögliche Ergebnisse.
Beispiel 3: Schlosskombination
  • Problem: Wie viele verschiedene dreistellige Schlosskombinationen sind möglich, wenn jede Ziffer eine beliebige Zahl zwischen 1 und 5 sein kann?
  • Lösung:
    • Für jede der drei Positionen gibt es fünf Auswahlmöglichkeiten (Ziffern von 1 bis 5).
    • Da jede Ziffer wiederholt werden kann, beträgt die Gesamtzahl der Schlosskombinationen: 𝑛^𝑟 = 5^3 = 125.
  • Antwort: Es sind 125 verschiedene dreistellige Schlosskombinationen möglich.

Permutation mit Wiederholung-Übung

Nehmen Sie an dieser Permutation mit Wiederholung-Übung teil, um das Konzept der Permutationen anhand praktischer Fragen zu erkunden. Testen Sie Ihre Fähigkeit, Anordnungen zu berechnen.
Frage 1: Wie viele 3-Buchstaben-Wörter können durch Wiederholung aus den Buchstaben A, B und C gebildet werden?
Antwort 1: 27.
Frage 2: Wie viele 2-stellige Zahlen können durch Wiederholung aus den Ziffern 1, 2, 3 gebildet werden?
Antwort 2: 9.
Frage 3: Wie viele 4-stellige PINs können durch Wiederholung aus den Ziffern 0-9 gebildet werden?
Antwort 3: 10000.
Frage 4: Auf wie viele Arten können 4 Buchstaben aus {X, Y, Z} durch Wiederholung angeordnet werden?
Antwort 4: 81.
Frage 5: Auf wie viele Arten können Sie 5 Buchstaben aus {A, B} mit Wiederholung anordnen?
Antwort 5: 32.

Permutation mit Wiederholung-Rechner Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Permutationen mit und ohne Wiederholung?
Bei Permutationen ohne Wiederholung kann jedes Element nur einmal in einer Anordnung verwendet werden. Im Gegensatz dazu können bei Permutationen mit Wiederholung Elemente wiederverwendet werden, was zu einer größeren Anzahl möglicher Anordnungen führt.
Gibt es Einschränkungen bei Permutationen mit Wiederholung?
Die Haupteinschränkung besteht darin, dass Elemente zwar wiederholt werden können, die Gesamtzahl der Anordnungen bei großen n- oder r-Werten jedoch unpraktisch werden kann, was zu einer extrem großen Anzahl von Permutationen führt, die schwer zu berechnen oder zu verwalten sein können.
Was passiert bei Permutationen mit Wiederholung, wenn die Gesamtzahl der Elemente kleiner ist als die Anzahl der gewählten Elemente (d. h. n < r)?
Wenn n < r, gelten Permutationen mit Wiederholungen immer noch, da je nach Situation mehrere Wiederholungen von Elementen möglich sind. Diese Flexibilität ermöglicht eine größere Vielfalt an Anordnungen, da jede der r Positionen mit einem beliebigen der n Elemente besetzt werden kann.
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