Calculatrice de Permutation avec répétition

Taper:

Nombre total d'éléments (n)

Éléments sélectionnés (r)

Total des éléments (individus) [4] 𝒊

Éléments sélectionnés (places disponibles) [3] 𝒊

A -1-	➔	A -2-	➔	A -3-

Sélecteur de permutation 𝒊


A B C D	AA AB AC AD	AAA AAB AAC AAD [#1] [#2] [#3] [#4]

Permutation avec répétition

La permutation est un concept mathématique qui fait référence à lagencement des éléments dune collection, où lordre dans lequel les éléments sont choisis affecte le résultat. Dans la permutation avec répétition, les éléments peuvent être sélectionnés plusieurs fois, ce qui permet une répétition infinie de n'importe quel élément de la collection. Cela signifie que le même élément peut apparaître à plusieurs endroits dans l'agencement.

Formule de Permutation avec répétition

Dans les cas où certains éléments d'une collection peuvent être répétés, le nombre d'arrangements est calculé à l'aide de la formule de permutation avec répétition :

P = n^{r}

P = Permutation | n = nombre total d'éléments | r = nombre d'éléments à choisir

Exemples de Permutation avec répétition

Explorez les exemples de Permutation avec répétition suivants pour comprendre comment calculer les arrangements dans divers scénarios.
Exemple 1 : Code PIN

Problème : Combien de codes PIN à 4 chiffres peut-on créer en utilisant les chiffres de 0 à 9 ?
Solution :
- Il y a 10 choix (chiffres de 0 à 9) pour chacune des 4 positions.
- Étant donné que chaque chiffre peut être répété, le nombre total de codes PIN est : 𝑛^𝑟 = 10^4 = 10 000.
Réponse : Il existe 10 000 codes PIN à 4 chiffres différents.

Exemple 2 : Lancer une pièce de monnaie

Problème : Une pièce de monnaie est lancée 3 fois. Combien de résultats possibles y a-t-il ?
Solution :
- Pour chaque lancer de pièce, il y a 2 résultats possibles : pile ou face.
- Puisque la pièce est lancée 3 fois : 𝑛^𝑟 = 2^𝑟 = 2^3 =8.
Réponse : Il y a 8 résultats possibles pour les 3 lancers de pièce.

Exemple 3 : Combinaison de serrure

Problème : Combien de combinaisons de serrure à 3 chiffres différentes sont possibles si chaque chiffre peut être n'importe quel nombre de 1 à 5 ?
Solution :
- Il y a 5 choix (chiffres de 1 à 5) pour chacune des 3 positions.
- Étant donné que chaque chiffre peut être répété, le nombre total de combinaisons de serrures est : 𝑛^𝑟 = 5^3 = 125.
Réponse : Il existe 125 combinaisons de serrures à 3 chiffres différentes.

Exercice de Permutation avec répétition

Participez à cet exercice de Permutation avec répétition pour explorer le concept de permutations à travers des questions pratiques. Testez votre capacité à calculer des arrangements.
Que 1 : Combien de mots de 3 lettres peut-on former en utilisant les lettres A, B et C avec répétition ?
Réponse 1 : 27.
Que 2 : Combien de nombres à 2 chiffres peut-on former en utilisant les chiffres 1, 2, 3 avec répétition ?
Réponse 2 : 9.
Que 3 : Combien de codes PIN à 4 chiffres peut-on former en utilisant les chiffres 0 à 9 avec répétition ?
Réponse 3 : 10 000.
Que 4 : De combien de façons pouvez-vous arranger 4 lettres de {X, Y, Z} avec répétition ?
Réponse 4 : 81.
Que 5 : Combien De quelles manières pouvez-vous organiser 5 lettres de {A, B} avec répétition ?
Réponse 5 : 32.

Calculatrice de Permutation avec répétition FAQ

Quelle est la différence entre les permutations avec et sans répétition ?

Dans les permutations sans répétition, chaque élément ne peut être utilisé qu'une seule fois dans un arrangement. En revanche, les permutations avec répétition permettent de réutiliser les éléments, ce qui conduit à un plus grand nombre d'arrangements possibles.

Existe-t-il des limites aux permutations avec répétition ?

La principale limitation est que, même si les éléments peuvent être répétés, le nombre total d’arrangements peut devenir impraticable pour un grand n ou r, ce qui conduit à un nombre extrêmement important de permutations qui peuvent être difficiles à calculer ou à gérer.

Que se passe-t-il dans les permutations avec répétition lorsque le nombre total d'éléments est inférieur au nombre d'éléments choisis (c'est-à-dire n < r) ?

Lorsque n < r, les permutations avec répétition s'appliquent toujours car il peut y avoir plusieurs répétitions d'éléments selon les besoins de la situation. Cette flexibilité permet une plus grande variété d'arrangements, car chacune des positions r peut être remplie par n'importe lequel des n éléments.

Total des éléments (individus)

Cette visualisation représente la collection d'éléments qui peuvent être répétés.
Même si les éléments peuvent être répétés, chaque élément distinct est traité comme un choix unique.

Éléments sélectionnés (places disponibles)

Il se compose d'un nombre spécifique de sièges pour illustrer le nombre d'éléments qui peuvent être sélectionnés et disposés.
Chaque siège est numéroté de manière unique pour indiquer les positions que les éléments peuvent occuper.
Le même élément peut occuper plusieurs positions puisqu'il peut être répété à l'infini.
Les flèches soulignent que l'ordre dans lequel les éléments sont placés est crucial.
Le but principal de cette visualisation est de montrer que la disposition des éléments est importante.

Sélecteur de permutation

Cette visualisation présente une structure arborescente.
Chaque niveau de l'arbre contient tous les arrangements pour les éléments sélectionnés, où le nombre d'éléments sélectionnés est égal au numéro de niveau.
Le niveau final affiche le résultat souhaité ainsi que son numéro d'entrée.
Les menus déroulants vous permettent de sélectionner des éléments de manière interactive, ce qui vous permet d'explorer facilement différents arrangements.
Les niveaux précédents agissent comme des outils de navigation menant à ce résultat.
Cette conception permet une exploration facile étape par étape des arrangements, ce qui permet de revenir en arrière.