पुनरावृत्ति के साथ संचय कैलकुलेटर

प्रकार:

कुल तत्व (n)

चयनित तत्व (r)

कुल तत्व (व्यक्तिगत) [4] 𝒊

चयनित तत्व (सभी एक ही मंच पर) [3] 𝒊

AAA

संयोजन चयनकर्ता 𝒊


A	➔	AA	➔	AAA[#1] AAB[#2] AAC[#3] AAD[#4]

पुनरावृत्ति के साथ संचय

संचय एक गणितीय अवधारणा है जो संग्रह से तत्वों के चयन को संदर्भित करती है, जहां तत्वों का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। पुनरावृत्ति के साथ संचय में, तत्वों को एक से अधिक बार चुना जा सकता है, जिससे एक ही तत्व के बार-बार चयन की अनुमति मिलती है। संदर्भ के आधार पर पुनरावृत्ति सीमित या अनंत बार भी हो सकती है। इस प्रकार का संयोजन उन परिदृश्यों में उपयोगी होता है जहाँ चयन में डुप्लिकेट की अनुमति होती है।

पुनरावृत्ति के साथ संचय सूत्र

ऐसे मामलों में जहां हम ऐसे समूह से तत्वों का चयन करना चाहते हैं जहां पुनरावृत्ति की अनुमति है, हम पुनरावृत्ति के साथ संचय सूत्र का उपयोग करके संभावित संयोजनों की संख्या निर्धारित कर सकते हैं:

C = \frac{(n + r - 1)!}{r! \cdot (n - 1)!}

C = संयोजन | n = तत्वों की कुल संख्या | r = चुनने के लिए तत्वों की संख्या

पुनरावृत्ति के साथ संचय उदाहरण

विभिन्न संदर्भों में आइटम चुनने के विभिन्न तरीकों को खोजने के तरीके जानने के लिए निम्नलिखित पुनरावृत्ति के साथ संचय उदाहरण का अन्वेषण करें।
उदाहरण 1: कैंडीज के दोहराव के साथ संयोजन

समस्या: यदि दोहराव की अनुमति है, तो 5 अलग-अलग प्रकारों में से 3 कैंडीज को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?
समाधान: दोहराव के साथ संयोजन का उपयोग करना सूत्र: 7! / [3! × (7-3)!] = 7! / 3! × 4! = 35.
उत्तर: कैंडी चुनने के 35 तरीके हैं.

उदाहरण 2: आइसक्रीम फ्लेवर के दोहराव के साथ संयोजन

समस्या: यदि दोहराव की अनुमति है, तो 3 अलग-अलग फ्लेवर से आइसक्रीम के 4 स्कूप कितने तरीकों से चुने जा सकते हैं?
समाधान: दोहराव के साथ संयोजन का उपयोग करना सूत्र: 6! / [4! × (6 - 4)!] = 6! / 4! × 2! = 15.
उत्तर: आइसक्रीम स्कूप चुनने के 15 तरीके हैं.

उदाहरण 3: सिक्कों के दोहराव के साथ संयोजन

समस्या: 6 समान सिक्कों को 4 अलग-अलग जार में कितने तरीकों से वितरित किया जा सकता है?
समाधान: दोहराव के साथ संयोजन का उपयोग करना सूत्र: 9! / [6! × (9-6)!] = 9! / (6! × 3!) = 84.
उत्तर: सिक्कों को वितरित करने के 84 तरीके हैं.

पुनरावृत्ति के साथ संचय अभ्यास

व्यावहारिक प्रश्नों के माध्यम से संयोजनों की अवधारणा का पता लगाने के लिए इस पुनरावृत्ति के साथ संचय अभ्यास में भाग लें। आइटम का चयन कैसे करें, यह निर्धारित करने में अपने कौशल को चुनौती दें।
प्रश्न 1: 5 विभिन्न प्रकारों में से 3 कैंडीज को कितने तरीकों से चुना जा सकता है, यदि पुनरावृत्ति की अनुमति है?
उत्तर 1: 35.
प्रश्न 2: 6 विभिन्न प्रकारों में से 4 फलों को कितने तरीकों से चुना जा सकता है, यदि पुनरावृत्ति की अनुमति है?
उत्तर 2: 126.
प्रश्न 3: 8 विभिन्न कक्षाओं में से 5 छात्रों को कितने तरीकों से चुना जा सकता है, यदि एक छात्र को एक से अधिक बार चुना जा सकता है?
उत्तर 3: 792.
प्रश्न 4: 4 विभिन्न रंगों में से 2 मार्बल्स को कितने तरीकों से चुना जा सकता है, यदि प्रत्येक रंग को एक से अधिक बार चुना जा सकता है?
उत्तर 4: 10.
प्रश्न 5: 7 समान सिक्कों को कितने तरीकों से वितरित किया जा सकता है 3 बच्चों में से कौन सबसे बड़ा है?
उत्तर 5: 36.

पुनरावृत्ति के साथ संचय कैलकुलेटर सामान्य प्रश्न

संयोजन और पुनरावृत्ति वाले संयोजन में क्या अंतर है?

संयोजनों में वस्तुओं का चयन शामिल होता है, जहां प्रत्येक वस्तु को केवल एक बार ही चुना जा सकता है, जबकि दोहराव वाले संयोजनों में वस्तुओं को कई बार चुना जा सकता है।

जब पुनरावृत्ति के साथ संयोजन में r > n हो तो C(n, r) का क्या अर्थ है?

C(n, r) दोहराव के साथ संयोजन में n अलग-अलग आइटम में से r आइटम चुनने की अनुमति देता है, तब भी जब r > n हो, क्योंकि आइटम को कई बार चुना जा सकता है। यह कम अद्वितीय आइटम होने के बावजूद कुल r चयन प्राप्त करने में सक्षम बनाता है।

क्या बड़ी संख्याओं के लिए पुनरावृत्ति वाले संयोजनों को हल करने के तरीके में कोई अंतर होता है?

सूत्र वही रहता है, लेकिन n और r के बड़े मानों के लिए, बड़े फैक्टोरियल गणनाओं को संभालने के लिए अक्सर कम्प्यूटेशनल टूल या सॉफ्टवेयर का उपयोग किया जाता है।

कुल तत्व (व्यक्तिगत)

यह विज़ुअलाइज़ेशन उन तत्वों के संग्रह को दर्शाता है जिन्हें दोहराया जा सकता है.
यद्यपि तत्वों को दोहराया जा सकता है, फिर भी प्रत्येक विशिष्ट तत्व को एक अद्वितीय विकल्प के रूप में माना जाता है.

चयनित तत्व (सभी एक ही मंच पर)

तत्वों को चुना जाता है और उन्हें एक ही स्टेज पर रखा जाता है, जिससे वे किसी भी स्थान पर रह सकते हैं.
एक ही तत्व को कई बार चुना जा सकता है क्योंकि इसे अनंत बार दोहराया जा सकता है.
तत्वों की गोलाकार गति इस बात पर जोर देती है कि परिणामों को प्रभावित किए बिना तत्वों को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, जो इस बात पर प्रकाश डालता है कि चयन का क्रम मायने नहीं रखता.

संयोजन चयनकर्ता

इस विज़ुअलाइज़ेशन में पदानुक्रमिक संरचना है.
पदानुक्रम के प्रत्येक स्तर में चयनित तत्वों के सभी संभावित संयोजन शामिल हैं, जिसमें तत्वों की संख्या स्तर संख्या से मेल खाती है.
अंतिम स्तर अपनी प्रविष्टि संख्या के साथ वांछित परिणाम प्रदर्शित करता है.
ड्रॉपडाउन मेनू आपको तत्वों को इंटरैक्टिव रूप से चुनने देता है, जिससे आपके लिए विभिन्न संयोजनों का पता लगाना आसान हो जाता है.
पिछले स्तर इस परिणाम की ओर ले जाने वाले नेविगेशनल टूल के रूप में कार्य करते हैं.
यह डिज़ाइन संयोजनों की आसान चरण-दर-चरण खोज की अनुमति देता है, जिससे बैकट्रैकिंग की सुविधा मिलती है.