सेट का क्रमचय कैलकुलेटर

प्रकार:

कुल तत्व (n)

चयनित तत्व (r)

ⁿP_r

⁴P₃

कुल तत्व (व्यक्तिगत) [4] 𝒊

चयनित तत्व (सीटें उपलब्ध) [3] 𝒊

A -1-	➔	B -2-	➔	C -3-

क्रमचय चयनकर्ता 𝒊


A B C D	AB AC AD	ABC ABD [#1] [#2]

सेट का क्रमचय

क्रमचय एक गणितीय अवधारणा है जो संग्रह से तत्वों की व्यवस्था को संदर्भित करती है, जहाँ तत्वों को जिस क्रम में चुना जाता है वह परिणाम को प्रभावित करता है। सेट का क्रमचय के संदर्भ में, यह किसी सेट में सभी तत्वों की विभिन्न संभावित व्यवस्था को संदर्भित करता है। प्रत्येक अद्वितीय व्यवस्था को एक अलग क्रमचय माना जाता है, और एक भी तत्व के क्रम को बदलने से एक नया क्रमचय होता है।

सेट का क्रमचय सूत्र

ऐसे मामलों में जहां हम तत्वों के एक सेट की व्यवस्था की संख्या की गणना करना चाहते हैं, हम सेट का क्रमचय सूत्र का उपयोग करते हैं:

^{n} P_{r} = \frac{n!}{(n - r)!}

nPr = एक समय में लिए गए अलग-अलग तत्वों का क्रमचय | n = तत्वों की कुल संख्या | r = चुनने के लिए तत्वों की संख्या

सेट का क्रमचय उदाहरण

विभिन्न परिदृश्यों में व्यवस्थाओं की गणना कैसे करें, यह समझने के लिए निम्नलिखित सेट का क्रमचय उदाहरण का अन्वेषण करें।
उदाहरण 1: 3 अक्षरों के समूह का क्रमचय

समस्या: आप A, B और C अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं?
समाधान: 3 अक्षर हैं, इसलिए 3 हैं! = 3 × 2 × 1 = 6.
क्रमचय: {ABC}, {ACB}, {BAC}, {BCA}, {CAB}, {CBA}.

उदाहरण 2: 4 संख्याओं के समूह का क्रमचय

समस्या: आप 1, 2, 3 और 4 संख्याओं को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं?
समाधान: 4 संख्याएँ हैं, इसलिए 4 हैं! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
क्रमचय: {1234}, {1243}, {1324}, {1342}, {1423}, {1432}, {2134}, {2143}, {2314}, {2341}, {2413}, {2431}, {3124}, {3142}, {3214}, {3241}, {3412}, {3421}, {4123}, {4132}, {4213}, {4231}, {4312}, {4321}.

उदाहरण 3: 5 रंगों के सेट के क्रमचय

समस्या: आप लाल, नीला, हरा, पीला और नारंगी रंगों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं?
समाधान: 5 रंग हैं, इसलिए 5 हैं! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
क्रमचय: {लाल, नीला, हरा, पीला, नारंगी}, {लाल, नीला, हरा, नारंगी, पीला}, ..., {नारंगी, पीला, हरा, नीला, लाल} (कुल 120 क्रमचय).

सेट का क्रमचय अभ्यास

व्यावहारिक प्रश्नों के माध्यम से क्रमचय की अवधारणा का पता लगाने के लिए इस सेट का क्रमचय अभ्यास में भाग लें। व्यवस्था की गणना करने की अपनी क्षमता का परीक्षण करें।
प्रश्न 1: आप अक्षरों {R, I, N, G} के सेट को कितने तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं?
उत्तर 1: 24.
प्रश्न 2: आप संख्याओं {1, 2, 3, 4, 5} के सेट को कितने तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं?
उत्तर 2: 120.
प्रश्न 3: आप रंगों {लाल, नीला, हरा} के सेट को कितने तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं?
उत्तर 3: 6.
प्रश्न 4: आप जानवरों {बिल्ली, कुत्ता, पक्षी, मछली, घोड़ा} के सेट को कितने तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं?
उत्तर 4: 120.
प्रश्न 5: आप फलों {सेब, केला, चेरी}?
उत्तर 5: 6.

सेट का क्रमचय कैलकुलेटर सामान्य प्रश्न

किसी समुच्चय के क्रमचयों के अनुप्रयोग क्या हैं?

क्रमचय का उपयोग गणित, कंप्यूटर विज्ञान और परिचालन अनुसंधान सहित विभिन्न क्षेत्रों में, समय-निर्धारण, डेटा की व्यवस्था, क्रिप्टोग्राफी और विभिन्न संभावित परिणामों के विश्लेषण जैसे कार्यों के लिए किया जाता है।

क्या आप किसी रिक्त समुच्चय के क्रमचय प्राप्त कर सकते हैं?

हां, रिक्त समुच्चय का क्रमचय 1 के रूप में परिभाषित किया गया है, जो यह दर्शाता है कि शून्य तत्वों को व्यवस्थित करने का एक ही तरीका है, वह है कुछ भी न करना।

क्या क्रमचय की अवधारणा को अनंत समुच्चयों पर लागू किया जा सकता है?

सिद्धांत रूप में, क्रमचय की अवधारणा को अनंत सेटों पर लागू किया जा सकता है। हालाँकि, व्यावहारिक अनुप्रयोग आमतौर पर परिमित सेटों से निपटते हैं क्योंकि अनंत क्रमचय से निपटने में जटिलताएँ शामिल होती हैं।

कुल तत्व (व्यक्तिगत)

यह दृश्य एक सेट में मौजूद अलग-अलग तत्वों के संग्रह को दर्शाता है.
प्रत्येक तत्व अद्वितीय है, और क्रमचय उत्पन्न करने में मदद करता है.

चयनित तत्व (सीटें उपलब्ध)

इसमें सीटों की एक विशिष्ट संख्या होती है, जो यह दर्शाती है कि कितने तत्वों को चुना और व्यवस्थित किया जा सकता है.
प्रत्येक सीट को विशिष्ट रूप से क्रमांकित किया जाता है, ताकि यह दर्शाया जा सके कि तत्वों को किस स्थान पर बैठाया जा सकता है.
तीर इस बात पर जोर देते हैं कि तत्वों को जिस क्रम में बैठाया जाता है, वह महत्वपूर्ण है.
इस विज़ुअलाइज़ेशन का मुख्य उद्देश्य यह दिखाना है कि तत्वों की व्यवस्था मायने रखती है.

क्रमचय चयनकर्ता

इस विज़ुअलाइज़ेशन में एक ट्री संरचना है.
ट्री के प्रत्येक स्तर में चयनित तत्वों के लिए सभी व्यवस्थाएँ शामिल हैं, जहाँ चयनित तत्वों की संख्या स्तर संख्या के बराबर है.
अंतिम स्तर अपनी प्रविष्टि संख्या के साथ वांछित परिणाम प्रदर्शित करता है.
ड्रॉपडाउन मेनू आपको तत्वों को इंटरैक्टिव रूप से चुनने देता है, जिससे आपके लिए विभिन्न व्यवस्थाओं का पता लगाना आसान हो जाता है.
पिछले स्तर इस परिणाम की ओर ले जाने वाले नेविगेशनल टूल के रूप में कार्य करते हैं.
यह डिज़ाइन व्यवस्थाओं की आसान चरण-दर-चरण खोज को सक्षम बनाता है, जिससे बैकट्रैकिंग की अनुमति मिलती है.