पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय कैलकुलेटर

प्रकार:

कुल तत्व (n)

चयनित तत्व (r)

कुल तत्व (व्यक्तिगत) [4] 𝒊

चयनित तत्व (सीटें उपलब्ध) [3] 𝒊

A -1-	➔	A -2-	➔	A -3-

क्रमचय चयनकर्ता 𝒊


A B C D	AA AB AC AD	AAA AAB AAC AAD [#1] [#2] [#3] [#4]

पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय

क्रमचय एक गणितीय अवधारणा है जो संग्रह से तत्वों की व्यवस्था को संदर्भित करती है, जहाँ तत्वों को जिस क्रम में चुना जाता है वह परिणाम को प्रभावित करता है। पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय में, तत्वों को कई बार चुना जा सकता है, जिससे संग्रह में किसी भी तत्व की अनंत पुनरावृत्ति की अनुमति मिलती है। इसका मतलब है कि एक ही तत्व व्यवस्था के भीतर कई स्थितियों में दिखाई दे सकता है।

पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय सूत्र

ऐसे मामलों में जहां संग्रह में कुछ तत्वों को दोहराया जा सकता है, व्यवस्थाओं की संख्या की गणना पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

P = n^{r}

P = क्रमचय | n = तत्वों की कुल संख्या | r = चुनने के लिए तत्वों की संख्या

पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय उदाहरण

विभिन्न परिदृश्यों में व्यवस्थाओं की गणना कैसे करें, यह समझने के लिए निम्नलिखित पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय उदाहरण का अन्वेषण करें।
उदाहरण 1: पिन कोड

समस्या: 0 से 9 अंकों का उपयोग करके कितने 4-अंकीय पिन कोड बनाए जा सकते हैं?
समाधान:
- 4 पदों में से प्रत्येक के लिए 10 विकल्प (अंक 0 से 9) हैं.
- चूंकि प्रत्येक अंक दोहराया जा सकता है, इसलिए पिन कोड की कुल संख्या है: 𝑛^𝑟 = 10^4 = 10000.
उत्तर: 10000 अलग-अलग 4-अंकीय पिन कोड हैं.

उदाहरण 2: सिक्का उछालना

समस्या: एक सिक्के को 3 बार उछाला जाता है. कितने संभावित परिणाम हैं?
समाधान:
- प्रत्येक सिक्का उछालने पर, 2 संभावित परिणाम होते हैं: चित या पट.
- चूँकि सिक्का 3 बार उछाला जाता है: 𝑛^𝑟 = 2^3 =8.
उत्तर: 3 सिक्का उछालने पर 8 संभावित परिणाम होते हैं.

उदाहरण 3: लॉक संयोजन

समस्या: यदि प्रत्येक अंक 1 से 5 तक कोई भी संख्या हो सकती है, तो कितने अलग-अलग 3-अंकीय लॉक संयोजन संभव हैं?
समाधान:
- 3 स्थितियों में से प्रत्येक के लिए 5 विकल्प (अंक 1 से 5) हैं.
- चूंकि प्रत्येक अंक दोहराया जा सकता है, इसलिए लॉक संयोजनों की कुल संख्या है: 𝑛^𝑟 = 5^3 = 125.
उत्तर: 125 अलग-अलग 3-अंकीय लॉक संयोजन संभव हैं.

पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय अभ्यास

व्यावहारिक प्रश्नों के माध्यम से क्रमचय की अवधारणा का पता लगाने के लिए इस पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय अभ्यास में भाग लें। व्यवस्था की गणना करने की अपनी क्षमता का परीक्षण करें।
प्रश्न 1: A, B और C अक्षरों का दोहराव के साथ उपयोग करके कितने 3-अक्षर वाले शब्द बनाए जा सकते हैं?
उत्तर 1: 27.
प्रश्न 2: अंक 1, 2, 3 का दोहराव के साथ उपयोग करके कितनी 2-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?
उत्तर 2: 9.
प्रश्न 3: अंक 0-9 का दोहराव के साथ उपयोग करके कितने 4-अंकीय पिन बनाए जा सकते हैं?
उत्तर 3: 10000.
प्रश्न 4: आप {X, Y, Z} के 4 अक्षरों को दोहराव के साथ कितने तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं?
उत्तर 4: 81.
प्रश्न 5: आप 5 अक्षरों को दोहराव के साथ कितने तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं {A, B} पुनरावृत्ति के साथ?
उत्तर 5: 32.

पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय कैलकुलेटर सामान्य प्रश्न

पुनरावृत्ति के साथ और बिना पुनरावृत्ति के क्रमपरिवर्तन में क्या अंतर है?

बिना दोहराव वाले क्रमपरिवर्तन में, प्रत्येक तत्व को एक व्यवस्था में केवल एक बार ही इस्तेमाल किया जा सकता है। इसके विपरीत, दोहराव वाले क्रमपरिवर्तन तत्वों को दोबारा इस्तेमाल करने की अनुमति देते हैं, जिससे संभावित व्यवस्थाओं की संख्या बढ़ जाती है।

क्या पुनरावृत्ति के साथ क्रमपरिवर्तन की कोई सीमाएं हैं?

मुख्य सीमा यह है कि यद्यपि तत्वों को दोहराया जा सकता है, लेकिन बड़े n या r के लिए व्यवस्थाओं की कुल संख्या अव्यावहारिक हो सकती है, जिसके परिणामस्वरूप अत्यधिक बड़ी संख्या में क्रमपरिवर्तन हो सकते हैं, जिनकी गणना या प्रबंधन करना कठिन हो सकता है।

पुनरावृत्ति वाले क्रमचयों में क्या होता है जब तत्वों की कुल संख्या चुने गए तत्वों की संख्या से कम होती है (अर्थात् n < r)?

जब n < r होता है, तो पुनरावृत्ति के साथ क्रमपरिवर्तन अभी भी लागू होते हैं क्योंकि स्थिति के अनुसार आवश्यकतानुसार वस्तुओं की कई पुनरावृत्तियाँ हो सकती हैं। यह लचीलापन व्यवस्थाओं की अधिक विविधता की अनुमति देता है, क्योंकि प्रत्येक r स्थिति को n वस्तुओं में से किसी से भी भरा जा सकता है।

कुल तत्व (व्यक्तिगत)

यह विज़ुअलाइज़ेशन उन तत्वों के संग्रह को दर्शाता है जिन्हें दोहराया जा सकता है.
यद्यपि तत्वों को दोहराया जा सकता है, फिर भी प्रत्येक विशिष्ट तत्व को एक अद्वितीय विकल्प के रूप में माना जाता है.

चयनित तत्व (सीटें उपलब्ध)

इसमें सीटों की एक खास संख्या होती है, जो यह दर्शाती है कि कितने तत्वों को चुना और व्यवस्थित किया जा सकता है.
प्रत्येक सीट को विशिष्ट रूप से क्रमांकित किया जाता है, ताकि यह दर्शाया जा सके कि तत्व किस स्थान पर बैठ सकते हैं.
एक ही तत्व कई स्थानों पर बैठ सकता है, क्योंकि इसे अनंत बार दोहराया जा सकता है.
तीर इस बात पर जोर देते हैं कि तत्वों को जिस क्रम में बैठाया जाता है, वह महत्वपूर्ण है.
इस विज़ुअलाइज़ेशन का मुख्य उद्देश्य यह दिखाना है कि तत्वों की व्यवस्था मायने रखती है.

क्रमचय चयनकर्ता

इस विज़ुअलाइज़ेशन में एक ट्री संरचना है.
ट्री के प्रत्येक स्तर में चयनित तत्वों के लिए सभी व्यवस्थाएँ शामिल हैं, जहाँ चयनित तत्वों की संख्या स्तर संख्या के बराबर है.
अंतिम स्तर अपनी प्रविष्टि संख्या के साथ वांछित परिणाम प्रदर्शित करता है.
ड्रॉपडाउन मेनू आपको तत्वों को इंटरैक्टिव रूप से चुनने देता है, जिससे आपके लिए विभिन्न व्यवस्थाओं का पता लगाना आसान हो जाता है.
पिछले स्तर इस परिणाम की ओर ले जाने वाले नेविगेशनल टूल के रूप में कार्य करते हैं.
यह डिज़ाइन व्यवस्थाओं की आसान चरण-दर-चरण खोज को सक्षम बनाता है, जिससे बैकट्रैकिंग की अनुमति मिलती है.