क्रमचय कैलकुलेटर

प्रकार:

कुल तत्व (n)

चयनित तत्व (r)

ⁿP_r

⁴P₃

कुल तत्व (व्यक्तिगत) [4] 𝒊

चयनित तत्व (सीटें उपलब्ध) [3] 𝒊

A -1-	➔	B -2-	➔	C -3-

क्रमचय चयनकर्ता 𝒊


A B C D	AB AC AD	ABC ABD [#1] [#2]

क्रमचय

क्रमचय एक गणितीय अवधारणा है जो संग्रह से तत्वों की व्यवस्था को संदर्भित करती है, जहाँ तत्वों को जिस क्रम में चुना जाता है वह परिणाम को प्रभावित करता है। दूसरे शब्दों में, क्रमचय तत्वों के विभिन्न अनुक्रमों या व्यवस्थाओं को अलग-अलग मानता है। क्रमचय का उपयोग गणित, कंप्यूटर विज्ञान और सांख्यिकी जैसे विभिन्न क्षेत्रों में पासवर्ड जनरेशन, इवेंट शेड्यूलिंग और गेम डिज़ाइन जैसे कार्यों के लिए किया जाता है।

क्रमचय सूत्र

ऐसे मामलों में जहां हम तत्वों के संग्रह की व्यवस्थाओं की संख्या की गणना करना चाहते हैं, हम क्रमचय सूत्र का उपयोग करते हैं:

^{n} P_{r} = \frac{n!}{(n - r)!}

nPr = एक समय में लिए गए अलग-अलग तत्वों का क्रमचय | n = तत्वों की कुल संख्या | r = चुनने के लिए तत्वों की संख्या

क्रमचय उदाहरण

विभिन्न परिदृश्यों में व्यवस्थाओं की गणना कैसे करें, यह समझने के लिए निम्नलिखित क्रमचय उदाहरण का अन्वेषण करें।
उदाहरण 1: 3-अंकीय संख्याएँ बनाना

समस्या: यदि दोहराव की अनुमति नहीं है, तो अंक 1, 2, 3, 4 और 5 से कितनी 3-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?
समाधान:
- हमें 5 अलग-अलग अंकों के सेट से 3 अंक बनाने की ज़रूरत है.
- क्रमचय सूत्र का उपयोग करें: 5! / (5 - 3)! = 5 x 4 x 3 x 2! / 2! = 60.
उत्तर: 60 अलग-अलग 3-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं.

उदाहरण 2: पासवर्ड बनाना

समस्या: किसी भी अंक को दोहराए बिना 0-9 अंकों का उपयोग करके 4-अंकीय पासवर्ड बनाएँ.
समाधान:
- हमें 10 अलग-अलग अंकों के सेट से 4 अंकों की व्यवस्था करने की आवश्यकता है.
- क्रमचय सूत्र का उपयोग करें: 10! / (10 - 4)! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6! / 6! = 5040.
उत्तर: 4 अंकों वाले 5040 संभावित पासवर्ड हैं.

उदाहरण 3: 2 झंडों को व्यवस्थित करना

समस्या: अलग-अलग रंगों के 5 झंडे दिए गए हैं, 2 झंडों का क्रम में (एक के ऊपर एक) उपयोग करके कितने सिग्नल बनाए जा सकते हैं?
समाधान:
- हमें 5 अलग-अलग झंडों के सेट से 2 झंडों को व्यवस्थित करने की आवश्यकता है.
- क्रमचय सूत्र का उपयोग करें: 5! / (5 - 2)! = 5 x 4 x 3! / 3! = 20.
उत्तर: 20 अलग-अलग सिग्नल उत्पन्न किए जा सकते हैं.

क्रमचय अभ्यास

व्यावहारिक प्रश्नों के माध्यम से क्रमचय की अवधारणा का पता लगाने के लिए इस क्रमचय अभ्यास में भाग लें। व्यवस्था की गणना करने की अपनी क्षमता का परीक्षण करें।
प्रश्न 1: आप 5 में से 3 कारों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से चुनकर व्यवस्थित कर सकते हैं?
उत्तर 1: 60.
प्रश्न 2: आप 4 में से 2 लोगों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं?
उत्तर 2: 12.
प्रश्न 3: आप 5 में से 4 अंकों (1, 2, 3, 4, 5) को एक संख्या बनाने के लिए कितने तरीकों से चुनकर व्यवस्थित कर सकते हैं?
उत्तर 3: 120.
प्रश्न 4: आप 6 में से 3 अलग-अलग रंग की गेंदों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं?
उत्तर 4: 120.
प्रश्न 5: आप 5 में से 4 अंकों (1, 2, 3, 4, 5) को एक संख्या बनाने के लिए कितने तरीकों से चुनकर व्यवस्थित कर सकते हैं? एक शेल्फ पर 7 में से कितनी किताबें हैं?
उत्तर 5: 2520.

क्रमचय कैलकुलेटर सामान्य प्रश्न

क्रमचय संयोजन से किस प्रकार भिन्न हैं?

क्रमचय वस्तुओं के क्रम पर विचार करते हैं, जबकि संयोजन ऐसा नहीं करते। उदाहरण के लिए, {A, B, C} के क्रमचय में ABC और BAC अलग-अलग हैं, जबकि संयोजन में ABC और BAC समान हैं।

क्या क्रमचय का प्रयोग ऋणात्मक संख्याओं के साथ किया जा सकता है?

क्रमचय का उपयोग आम तौर पर वस्तुओं को व्यवस्थित करने के लिए सकारात्मक पूर्णांकों के साथ किया जाता है। क्रमचय के संदर्भ में ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग करना उचित नहीं है।

क्या क्रमचय में कोई प्रतिबंध हैं?

हां, प्रतिबंध यह है कि r (चयनित वस्तुओं की संख्या) n (उपलब्ध कुल वस्तुओं) से कम या बराबर होनी चाहिए क्योंकि यदि r, n से अधिक है, तो आप उपलब्ध तत्वों की कमी के कारण वैध व्यवस्था नहीं बना सकते।

0 तत्वों का क्रमचय क्या है?

0 तत्वों का क्रमचय 1 के रूप में परिभाषित किया गया है। इसका मतलब है कि शून्य वस्तुओं को व्यवस्थित करने का एक ही तरीका है, जो कि कुछ भी नहीं करना है। गणितीय रूप से, इसे P(0) = 0! = 1 के रूप में व्यक्त किया जाता है।

कुल तत्व (व्यक्तिगत)

यह विज़ुअलाइज़ेशन अलग-अलग तत्वों के संग्रह को दर्शाता है.
प्रत्येक तत्व अद्वितीय है, और क्रमचय उत्पन्न करने में मदद करता है.

चयनित तत्व (सीटें उपलब्ध)

इसमें सीटों की एक विशिष्ट संख्या होती है, जो यह दर्शाती है कि कितने तत्वों को चुना और व्यवस्थित किया जा सकता है.
प्रत्येक सीट को विशिष्ट रूप से क्रमांकित किया जाता है, ताकि यह दर्शाया जा सके कि तत्वों को किस स्थान पर बैठाया जा सकता है.
तीर इस बात पर जोर देते हैं कि तत्वों को जिस क्रम में बैठाया जाता है, वह महत्वपूर्ण है.
इस विज़ुअलाइज़ेशन का मुख्य उद्देश्य यह दिखाना है कि तत्वों की व्यवस्था मायने रखती है.

क्रमचय चयनकर्ता

इस विज़ुअलाइज़ेशन में एक ट्री संरचना है.
ट्री के प्रत्येक स्तर में चयनित तत्वों के लिए सभी व्यवस्थाएँ शामिल हैं, जहाँ चयनित तत्वों की संख्या स्तर संख्या के बराबर है.
अंतिम स्तर अपनी प्रविष्टि संख्या के साथ वांछित परिणाम प्रदर्शित करता है.
ड्रॉपडाउन मेनू आपको तत्वों को इंटरैक्टिव रूप से चुनने देता है, जिससे आपके लिए विभिन्न व्यवस्थाओं का पता लगाना आसान हो जाता है.
पिछले स्तर इस परिणाम की ओर ले जाने वाले नेविगेशनल टूल के रूप में कार्य करते हैं.
यह डिज़ाइन व्यवस्थाओं की आसान चरण-दर-चरण खोज को सक्षम बनाता है, जिससे बैकट्रैकिंग की अनुमति मिलती है.