Kalkulator Permutasi dengan Pengulangan

Jenis:

Jumlah Elemen (n)

Elemen yang Dipilih (r)

Jumlah Elemen (Individu) [4] 𝒊

Elemen Pilihan (Kursi Tersedia) [3] 𝒊

A -1-	➔	A -2-	➔	A -3-

Pemilih Permutasi 𝒊


A B C D	AA AB AC AD	AAA AAB AAC AAD [#1] [#2] [#3] [#4]

Permutasi dengan Pengulangan

Permutasi adalah konsep matematika yang mengacu pada susunan elemen dari suatu koleksi, di mana urutan pemilihan elemen memengaruhi hasilnya. Dalam permutasi dengan pengulangan, elemen dapat dipilih beberapa kali, sehingga memungkinkan pengulangan elemen apa pun dalam koleksi tanpa batas. Ini berarti elemen yang sama dapat muncul di beberapa posisi dalam susunan tersebut.

Rumus Permutasi dengan Pengulangan

Dalam kasus di mana beberapa elemen dalam suatu koleksi dapat diulang, jumlah susunannya dihitung menggunakan rumus permutasi dengan pengulangan:

P = n^{r}

P = Permutasi | n = jumlah total elemen | r = jumlah elemen yang dipilih

Contoh Permutasi dengan Pengulangan

Jelajahi contoh Permutasi dengan Pengulangan berikut untuk memahami cara menghitung pengaturan dalam berbagai skenario.
Contoh 1: Kode PIN

Soal: Berapa banyak kode PIN 4 digit yang dapat dibuat menggunakan angka 0 hingga 9?
Solusi:
- Ada 10 pilihan (angka 0 hingga 9) untuk setiap 4 posisi.
- Karena setiap digit dapat diulang, jumlah total kode PIN adalah: 𝑛^𝑟 = 10^4 = 10000.
Jawaban: Ada 10000 kode PIN 4 digit yang berbeda.

Contoh 2: Melempar Koin

Soal: Sebuah koin dilempar 3 kali. Bahasa Indonesia: Berapa banyak kemungkinan hasil yang ada?
Solusi:
- Untuk setiap lemparan koin, ada 2 kemungkinan hasil: sisi kepala atau sisi ekor.
- Karena koin dilempar 3 kali: 𝑛^𝑟 = 2^3 =8.
Jawaban: Ada 8 kemungkinan hasil untuk 3 lemparan koin.

Contoh 3: Kombinasi Kunci

Soal: Berapa banyak kombinasi kunci 3 digit yang berbeda yang mungkin jika setiap digit dapat berupa angka apa pun dari 1 hingga 5?
Solusi:
- Ada 5 pilihan (digit 1 hingga 5) untuk masing-masing dari 3 posisi.
- Karena setiap digit dapat diulang, jumlah total kombinasi kunci adalah: 𝑛^𝑟 = 5^3 = 125.
Jawaban: Ada 125 kemungkinan kombinasi kunci 3 digit yang berbeda.

Latihan Permutasi dengan Pengulangan

Ikuti latihan Permutasi dengan Pengulangan ini untuk mengeksplorasi konsep permutasi melalui pertanyaan-pertanyaan praktis. Uji kemampuan Anda untuk menghitung susunan.
Pertanyaan 1: Berapa banyak kata 3 huruf yang dapat dibentuk menggunakan huruf A, B, dan C dengan pengulangan?
Jawaban 1: 27.
Pertanyaan 2: Berapa banyak angka 2 digit yang dapat dibentuk menggunakan angka 1, 2, 3 dengan pengulangan?
Jawaban 2: 9.
Pertanyaan 3: Berapa banyak PIN 4 digit yang dapat dibentuk menggunakan angka 0-9 dengan pengulangan?
Jawaban 3: 10000.
Pertanyaan 4: Berapa banyak cara Anda dapat menyusun 4 huruf dari {X, Y, Z} dengan pengulangan?
Jawaban 4: 81.
Pertanyaan 5: Berapa banyak cara Anda dapat menyusun 5 huruf dari {A, B} dengan pengulangan?
Jawaban 5: 32.

Kalkulator Permutasi dengan Pengulangan Tanya Jawab Umum

Apa perbedaan antara permutasi dengan pengulangan dan tanpa pengulangan?

Dalam permutasi tanpa pengulangan, setiap elemen hanya dapat digunakan satu kali dalam suatu susunan. Sebaliknya, permutasi dengan pengulangan memungkinkan elemen untuk digunakan kembali, sehingga menghasilkan lebih banyak kemungkinan susunan.

Apakah ada batasan pada permutasi dengan pengulangan?

Keterbatasan utamanya adalah meskipun unsur-unsur dapat diulang, jumlah total susunan mungkin menjadi tidak praktis untuk n atau r yang besar, sehingga menyebabkan jumlah permutasi yang sangat besar sehingga sulit dihitung atau dikelola.

Apa yang terjadi dalam permutasi dengan pengulangan ketika jumlah total elemen kurang dari jumlah elemen yang dipilih (misalnya, n < r)?

Bila n < r, permutasi dengan pengulangan masih berlaku karena bisa ada beberapa pengulangan item sesuai kebutuhan sesuai dengan situasi. Fleksibilitas ini memungkinkan lebih banyak variasi pengaturan, karena masing-masing posisi r dapat diisi dengan salah satu dari n item.

Jumlah Elemen (Individu)

Visualisasi ini menggambarkan kumpulan elemen yang dapat diulang.
Meskipun elemen dapat diulang, setiap elemen yang berbeda diperlakukan sebagai pilihan yang unik.

Elemen Pilihan (Kursi Tersedia)

Terdiri dari sejumlah kursi tertentu untuk menggambarkan berapa banyak elemen yang dapat dipilih dan disusun.
Setiap kursi diberi nomor unik untuk menunjukkan posisi yang dapat ditempati oleh elemen.
Elemen yang sama dapat menempati beberapa posisi karena dapat diulang tanpa batas.
Anak panah menekankan bahwa urutan penempatan elemen sangat penting.
Tujuan utama visualisasi ini adalah untuk menunjukkan bahwa penataan elemen itu penting.

Pemilih Permutasi

Visualisasi ini menampilkan struktur pohon.
Setiap level pohon berisi semua susunan untuk elemen yang dipilih, di mana jumlah elemen yang dipilih sama dengan nomor level.
Level terakhir menampilkan hasil yang diinginkan beserta nomor entri.
Menu tarik-turun memungkinkan Anda memilih elemen secara interaktif, sehingga memudahkan Anda menjelajahi susunan yang berbeda.
Level sebelumnya berfungsi sebagai alat navigasi yang mengarah ke hasil ini.
Desain ini memungkinkan eksplorasi susunan langkah demi langkah yang mudah, sehingga memungkinkan penelusuran kembali.