Calcolatrice di Permutazione con Ripetizione

Tipo:

Elementi totali (n)

Elementi selezionati (r)

Elementi totali (individui) [4] 𝒊

Elementi selezionati (posti disponibili) [3] 𝒊

A -1-	➔	A -2-	➔	A -3-

Selettore di permutazione 𝒊


A B C D	AA AB AC AD	AAA AAB AAC AAD [#1] [#2] [#3] [#4]

Permutazione con Ripetizione

La permutazione è un concetto matematico che si riferisce alla disposizione di elementi da una raccolta, dove lordine in cui gli elementi vengono scelti influenza il risultato. Nella permutazione con ripetizione, gli elementi possono essere selezionati più volte, consentendo la ripetizione infinita di qualsiasi elemento nella collezione. Ciò significa che lo stesso elemento può apparire in diverse posizioni all'interno della disposizione.

Formula di Permutazione con Ripetizione

Nei casi in cui alcuni elementi di una raccolta possono essere ripetuti, il numero di arrangiamenti viene calcolato utilizzando la formula di permutazione con ripetizione:

P = n^{r}

P = Permutazione | n = numero totale di elementi | r = numero di elementi da scegliere

Esempi di Permutazione con Ripetizione

Esplora i seguenti esempi di Permutazione con Ripetizione per capire come calcolare gli accordi in vari scenari.
Esempio 1: Codice PIN

Problema: Quanti codici PIN a 4 cifre possono essere creati utilizzando le cifre da 0 a 9?
Soluzione:
- Ci sono 10 scelte (cifre da 0 a 9) per ciascuna delle 4 posizioni.
- Poiché ogni cifra può essere ripetuta, il numero totale di codici PIN è: 𝑛^𝑟 = 10^4 = 10000.
Risposta: Ci sono 10000 codici PIN a 4 cifre diversi.

Esempio 2: Lancio di una moneta

Problema: Una moneta viene lanciata 3 volte. Quanti sono i possibili risultati?
Soluzione:
- Per ogni lancio di moneta, ci sono 2 possibili risultati: testa o croce.
- Poiché la moneta viene lanciata 3 volte: 𝑛^𝑟 = 2^3 =8.
Risposta: Ci sono 8 possibili risultati per i 3 lanci di moneta.

Esempio 3: Combinazione di lucchetto

Problema: Quante diverse combinazioni di lucchetto a 3 cifre sono possibili se ogni cifra può essere un numero qualsiasi da 1 a 5?
Soluzione:
- Ci sono 5 scelte (cifre da 1 a 5) per ciascuna delle 3 posizioni.
- Poiché ogni cifra può essere ripetuta, il numero totale di combinazioni di lucchetto è: 𝑛^𝑟 = 5^3 = 125.
Risposta: Sono possibili 125 diverse combinazioni di lucchetto a 3 cifre.

Esercizio di Permutazione con Ripetizione

Partecipa a questo esercizio di Permutazione con Ripetizione per esplorare il concetto di permutazioni attraverso domande pratiche. Metti alla prova la tua capacità di calcolare disposizioni.
Domanda 1: Quante parole di 3 lettere possono essere formate usando le lettere A, B e C con ripetizione?
Risposta 1: 27.
Domanda 2: Quanti numeri di 2 cifre possono essere formati usando le cifre 1, 2, 3 con ripetizione?
Risposta 2: 9.
Domanda 3: Quanti PIN di 4 cifre possono essere formati usando le cifre da 0 a 9 con ripetizione?
Risposta 3: 10000.
Domanda 4: In quanti modi puoi disporre 4 lettere da {X, Y, Z} con ripetizione?
Risposta 4: 81.
Domanda 5: In quanti modi puoi disporre 5 lettere da {A, B} con ripetizione?
Risposta 5: 32.

Calcolatrice di Permutazione con Ripetizione Domande frequenti

Qual è la differenza tra permutazioni con e senza ripetizione?

Nelle permutazioni senza ripetizione, ogni elemento può essere utilizzato solo una volta in un arrangiamento. Al contrario, le permutazioni con ripetizione consentono di riutilizzare gli elementi, portando a un numero maggiore di possibili arrangiamenti.

Esistono limitazioni alle permutazioni con ripetizione?

Il limite principale è che, sebbene gli elementi possano essere ripetuti, il numero totale di disposizioni può diventare poco pratico per valori grandi di n o r, portando a un numero estremamente elevato di permutazioni che possono essere difficili da calcolare o gestire.

Cosa succede nelle permutazioni con ripetizione quando il numero totale di elementi è inferiore al numero di elementi scelti (ovvero, n < r)?

Quando n < r, le permutazioni con ripetizione sono ancora valide perché possono esserci più ripetizioni di elementi a seconda delle necessità, in base alla situazione. Questa flessibilità consente una maggiore varietà di disposizioni, poiché ciascuna delle posizioni r può essere riempita con uno qualsiasi degli n elementi.

Elementi totali (individui)

Questa visualizzazione rappresenta la raccolta di elementi che possono essere ripetuti.
Anche se gli elementi possono essere ripetuti, ogni elemento distinto viene trattato come una scelta unica.

Elementi selezionati (posti disponibili)

È costituito da un numero specifico di posti a sedere per illustrare quanti elementi possono essere selezionati e disposti.
Ogni posto è numerato in modo univoco per indicare le posizioni che gli elementi possono occupare.
Lo stesso elemento può occupare più posizioni poiché può essere ripetuto all'infinito.
Le frecce sottolineano che l'ordine in cui gli elementi sono disposti è fondamentale.
Lo scopo principale di questa visualizzazione è mostrare che la disposizione degli elementi è importante.

Selettore di permutazione

Questa visualizzazione presenta una struttura ad albero.
Ogni livello dell'albero contiene tutte le disposizioni per gli elementi selezionati, dove il numero di elementi selezionati è uguale al numero di livello.
Il livello finale mostra il risultato desiderato insieme al suo numero di voce.
I menu a discesa consentono di selezionare gli elementi in modo interattivo, semplificando l'esplorazione di diverse disposizioni.
I livelli precedenti fungono da strumenti di navigazione che conducono a questo risultato.
Questo design consente un'esplorazione semplice passo dopo passo delle disposizioni, consentendo il backtracking.