Permutatie met herhaling Rekenmachine

Type:

Totaal aantal elementen (n)

Geselecteerde elementen (r)

Totale elementen (individuen) [4] 𝒊

Geselecteerde elementen (beschikbare zitplaatsen) [3] 𝒊

A -1-	➔	A -2-	➔	A -3-

Permutatiekiezer 𝒊


A B C D	AA AB AC AD	AAA AAB AAC AAD [#1] [#2] [#3] [#4]

Permutatie met herhaling

Permutatie is een wiskundig concept dat verwijst naar de rangschikking van elementen uit een verzameling, waarbij de volgorde waarin de elementen worden gekozen het resultaat beïnvloedt. Bij permutatie met herhaling kunnen elementen meerdere keren worden geselecteerd, waardoor oneindige herhaling van elk element in de verzameling mogelijk is. Dit betekent dat hetzelfde element op meerdere posities binnen de rangschikking kan voorkomen.

Formule voor Permutatie met Herhaling

In gevallen waarin sommige elementen in een verzameling herhaald kunnen worden, wordt het aantal arrangementen berekend met behulp van de formule voor permutatie met herhaling:

P = n^{r}

P = Permutatie | n = totaal aantal elementen | r = aantal elementen om te kiezen

Voorbeelden van Permutatie met herhaling

Bekijk de voorbeelden van Permutatie met herhaling om te begrijpen hoe u regelingen in verschillende scenario's kunt berekenen.
Voorbeeld 1: Pincode

Probleem: Hoeveel 4-cijferige pincodes kunnen worden gemaakt met de cijfers 0 tot en met 9?
Oplossing:
- Er zijn 10 keuzes (cijfers 0 tot en met 9) voor elk van de 4 posities.
- Omdat elk cijfer kan worden herhaald, is het totale aantal pincodes: 𝑛^𝑟 = 10^4 = 10000.
Antwoord: Er zijn 10000 verschillende 4-cijferige pincodes.

Voorbeeld 2: Een munt opgooien

Probleem: Een munt wordt 3 keer opgegooid. Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er?
Oplossing:
- Bij elke muntworp zijn er 2 mogelijke uitkomsten: kop of munt.
- Omdat de munt 3 keer wordt opgegooid: 𝑛^𝑟 = 2^3 = 8.
Antwoord: Er zijn 8 mogelijke uitkomsten voor de 3 muntworpen.

Voorbeeld 3: Slotcombinatie

Probleem: Hoeveel verschillende slotcombinaties van 3 cijfers zijn mogelijk als elk cijfer een willekeurig getal tussen 1 en 5 kan zijn?
Oplossing:
- Er zijn 5 keuzes (cijfers 1 tot 5) voor elk van de 3 posities.
- Omdat elk cijfer herhaald kan worden, is het totale aantal slotcombinaties: 𝑛^𝑟 = 5^3 = 125.
Antwoord: Er zijn 125 verschillende 3-cijferige slotcombinaties mogelijk.

Permutatie met herhaling Oefening

Doe mee aan deze Permutatie met herhaling oefening om het concept van permutaties te verkennen door middel van praktische vragen. Test je vermogen om arrangementen te berekenen.
Vraag 1: Hoeveel woorden van 3 letters kunnen worden gevormd met de letters A, B en C met herhaling?
Antw. 1: 27.
Vraag 2: Hoeveel 2-cijferige getallen kunnen worden gevormd met de cijfers 1, 2, 3 met herhaling?
Antw. 2: 9.
Vraag 3: Hoeveel 4-cijferige pincodes kunnen worden gevormd met de cijfers 0-9 met herhaling?
Antw. 3: 10000.
Vraag 4: Op hoeveel manieren kun je 4 letters van {X, Y, Z} rangschikken met herhaling?
Antw. 4: 81.
Vraag 5: Op hoeveel manieren kun je 5 ... {A, B} met herhaling?
Antw. 5: 32.

Permutatie met herhaling Rekenmachine Veelgestelde vragen

Wat is het verschil tussen permutaties met en zonder herhaling?

Bij permutaties zonder herhaling kan elk element slechts één keer in een arrangement worden gebruikt. Daarentegen kunnen permutaties met herhaling elementen hergebruiken, wat leidt tot een groter aantal mogelijke arrangementen.

Zijn er beperkingen aan permutaties met herhaling?

De belangrijkste beperking is dat elementen weliswaar kunnen worden herhaald, maar dat het totale aantal rangschikkingen onpraktisch kan worden voor grote n- of r-waarden. Dit kan leiden tot extreem grote aantallen permutaties die moeilijk te berekenen of beheren zijn.

Wat gebeurt er bij permutaties met herhaling wanneer het totale aantal elementen kleiner is dan het aantal gekozen elementen (d.w.z. n < r)?

Wanneer n < r, zijn permutaties met herhaling nog steeds van toepassing omdat er meerdere herhalingen van items kunnen zijn, afhankelijk van de situatie. Deze flexibiliteit zorgt voor een grotere verscheidenheid aan arrangementen, omdat elk van de r posities kan worden gevuld met elk van de n items.

Totale elementen (individuen)

Deze visualisatie vertegenwoordigt de verzameling elementen die herhaald kunnen worden.
Hoewel elementen herhaald kunnen worden, wordt elk afzonderlijk element behandeld als een unieke keuze.

Geselecteerde elementen (beschikbare zitplaatsen)

Het bestaat uit een specifiek aantal stoelen om te illustreren hoeveel elementen kunnen worden geselecteerd en gerangschikt.
Elke stoel is uniek genummerd om de posities aan te geven die elementen kunnen innemen.
Hetzelfde element kan meerdere posities innemen, omdat het oneindig kan worden herhaald.
De pijlen benadrukken dat de volgorde waarin elementen worden geplaatst cruciaal is.
Het hoofddoel van deze visualisatie is om te laten zien dat de rangschikking van elementen van belang is.

Permutatiekiezer

Deze visualisatie bevat een boomstructuur.
Elk niveau van de boom bevat alle arrangementen voor de geselecteerde elementen, waarbij het aantal geselecteerde elementen gelijk is aan het niveaunummer.
Het laatste niveau geeft de gewenste uitkomst weer, samen met het invoernummer.
Met vervolgkeuzemenu's kunt u interactief elementen selecteren, waardoor u eenvoudig verschillende arrangementen kunt verkennen.
Eerdere niveaus fungeren als navigatiehulpmiddelen die naar dit resultaat leiden.
Dit ontwerp maakt het mogelijk om arrangementen eenvoudig stapsgewijs te verkennen, zodat u kunt teruggaan.